Batukaria

Batukaria hainbat zenbaki edo bestelako adierazpenen batuketa indexatua adierazten duen ikur matematikoa da. \Sigma (sigma) letra greko maiuskulaz adierazten da:

    \[\sum_{i=1}^nx_i=x_1+x_2+\ldots+x_n\]

Batuketa egitean lehen baliotik (i=1), bigarrenera (i=2) igarotzen gara, eta horrela hurrenez hurren, azkenekora (x_n) heldu arte.

Batukariak laburrago ere adieraz daitezke:

    \[\sum_{i=1}^nx_i=\sum_{i}x_i=\sum x_i\]

Bereziki estatistikan erabiltzen den ikurra da, non formula asko eta asko batukariaren bitartez adierazten diren (batezbesteko artimetiko sinplea, adibidez, eta formula erraz bat emateagatik).

Batukariaren propietateak

  1. k konstante baten baturari buruz,

        \[\sum_{i=1}^nk=k+k+\ldots+k=nk\]

  2. Batukariaren barruan bidertzen duten konstanteak batukaritik kanpora atera daitezke. k konstante izanik,

        \[\sum_{i=1}^nkx_i=kx_1+kx_2+\ldots+kx_n=k(x_1+x_2+\ldots+x_n)=k\sum_{i=1}^nx_i\]

  3. Batukari barruko baturak batukari ezberdinetan bana daitezke: 

        \[\sum_{i=1}^n(x_i+y_i)=\sum_{i=1}^nx_i+\sum_{i=1}^ny_i\]

  4. Batukari bikoitzak ere izaten dira, matrize gisako datuetara aplikatzen direnak, batuketak zutabez zutabe edo errenkadaz errenkada eginez:

        \[\sum_{ij}=(x_{11}+x_{21}+\cdots+x_{n1})+(x_{12}+x_{22}+\cdots+x_{n2})+\cdots+(x_{1m}+x_{2m}+\cdots+x_{nm})\]

Biderkaria

Biderkaria biderketa anitza adierazteko erabiltzen den ikur indexatua da. \Pi (pi) letra greko maiuskularen bidez adierazten da. Zehazkiago, x_1,x_2,\ldots,x_n zenbakiak izanik, horien biderketa honela adierazten da:

    \[\prod_{i=1}^{n}x_i=x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n\]

Estatistikako formula anitzetan erabiltzen da, hala nola batezbesteko geometrikoan eta zenbaki indizeen kalkuluan.

Logaritmoari esker, biderkaria batukari bihurtzen da:

    \[\ln \prod_{i=1}^n x_i=\sum_{i=1}^n \ln x_i\]

Beste hizkuntzetan: ingelesez, product; gaztelaniaz, productorio,  multiplicatorio.

 

Pertsona fisikoak eta pertsona juridikoak

Zuzenbidean, zentzu hertsian pertsona guztiak dira pertsona juridikoak, eskubide eta obligazioak dituzten heinean. Hala ere, ohikoa da pertsona fisikoen eta juridikoen arteko bereizketa. Hala, pertsona fisikoak eskubideak eta obligazioak dituen subjektu indibidualak dira, eta pertsona juridikoak pertsona eta ondasunen elkarteak (merkataritza-sozietateak, adibidez) pertsona fisikoak bezalaxe, eskubideak eta obligazioak dituztenak. Pertsona juridikoen kasuan beraz, pertsona izena adiera metaforikoan erabiltzen da.

Pertsona fisiko eta juridikoen arteko bereizketari buruz, teoria zenbait daude. Funtsean, bi multzotan banatzen dira: alde batetik, teoria formalistek pertsona izaera, fisikoa nahiz juridikoa, ordenamendu juridikoak ezartzen du, bera baita entitate horiei eskubideak eta obligazioak ematen dizkiena; bestetik, teoria naturalistek pertsona fisikoaren eskubideak eta obligazioak pertsona izateagatik sortzen direla baieztatzen du, eta muturrean pertsona juridikoak pertsona fisikoen elkarte gisa soilik, eta elkarte edo pertsona juridikoaren baitan pertsona fisikoak aritzen dira, nor bere eskubide eta obligazioekin.

 

Faktoriala

n zenbaki oso baten faktoriala n zenbakia bere azpiko zenbaki oso guztiekin bidertzearen emaitza da:

    \[n!=n \times (n-1) \times (n-2) \times 3 \times 2 \times 1\]

Adibide gisa:

    \[1!=1\]

    \[2!=2 \times 1=2\]

    \[3!=3 \times 2 \times 1=6\]

    \[4!= 4 \timers 3 \times 2 \times 1=24\]

    \[5!=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120\]

    \[\cdots\]

Matematikako arlo anitzetan agertzen da, baina bereziki konbinatorian; hain zuzen, konbinatorian n! balioak n elementu ezberdinen permutazioen kopurua da; beste alde batetik, n elementuetatik x elementu aukeratzeko era kopurua honela kalkulatzen da: \cfrac{n!}{x!(n-x)!}.

Ikusten denez, faktorialak oso azkar egiten du gora. Hazkunde hori lehertze (edo leherketa) konbinatorioaren fenomenoaren ondorioa da: permutazioen kopurua oso azkar egiten du gora, leherketa baten antzera n elementu kopurua handitu ahala.

0 zenbakiaren faktoriala 1 da. Horren azalpena konbinatorioa da: n elementuetatik 0 elementua aukeratzeko era kopurua 1 da: \cfrac{n!}{0!n!}, eta hortik 0!=1 bete behar da.

n handietarako Stirling hurbilketa erabil daiteke:

    \[n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\]

 

 

 

Jolas sinbolikoa

Panpina jolas sinbolikorako ohiko jostailua da.

Jolas sinbolikoa haurrak errealitateko egoerak simulatu egiten dituen jolasa da, horretarako behar dituen objektuak eskura dituen beste objektuekin ordeztuz eta pertsonaiak antzeztuz, hala nola dendetara eta medikuetara jolastuz. Jolas sinbolikoan haurrak errealitateko egoerak, guztiz bereganatu ezin dituenak, imitatu egiten ditu, horiek asimilatzen joateko. Jolas sinbolikoa mugimendu eta zentzumenezko jolasen ondoren garatzen da haurrarengan, eta jolas arautuaren aurretik, non haurrak besteekin jolasten eta besteak errespetatzen ikasi behar duen bereziki.

Jean Piagetek haurraren garapenari buruz ezarri zuen teorian, jolas sinbolikoa elementu garrantzitsua da haurraren ikaskuntzarako, aldi aurreoperazionalean bereziki, 2-7 urte bitartean alegia. Hain zuzen, adin horretan haurra txikiegia errealitateko hainbat egoeretan murgiltzeko, bere ahalmen kognitiboa mugatua baita; jolas sinbolikoaren bitartez egoera horiek bere ahalmenetara moldatu egiten ditu, haiek barneratzen joaten da. Izan ere, adin horietan haurra bere egozentrismoan murgildurik dago (ni besterik ez dago munduan) eta jolas sinbolikoak laguntzen dio errealitatearen aldean distantzia egokia hartzen eta izan behar duen kontzientzia hartzen. Sormena eta hizkuntza izango dira jolas sinbolikoaren tresna garrantzitsuenak: egoera horiek antzeztuz, haurra errealitatea objektuz, ekintzez eta hitzez adierazi eta irudikatzeko gauza izango da (baita ere marrazkien bitartez).

Sozializazioa da jolas sinbolikoak dakarren beste onuretako bat. Jolas sinbolikoaren aldiaren hasieran, 2 urte inguruan, haurra bakarrik jolasten bada ere (adibidez, itxurazko telefono batez bakarrik hitz egiten); 2-4 urte bitartean, jolas paralelo batera igarotzen dira, beste haurrekin jolasten, egoera bera irudikatzen baina haien arteko harremanik gabe (adibidez, hondartzan gazteluak egiten); azkenik, 4 urtetik aurrera, jolas sinbolikoa partekatua izaten da, eta haurra beste haurrekin jolasten da, haien artean egoerari dagozkion rolak banatuz.

Azkenik, jolasgaia ere aipatu behar da, jolas sinbolikoan zertara jolasten den alegia. Alde batetik, errealitate soziala irudikatzen duten jolasgaiak ditugu, medikuetara, sukaldetara edo dendetara. Beste alde batetik, gizartearen errealitate fantastikoa irudikatzen dutenak, piratak edo munstroak adibidez. Eta azkenik, haurrak berak asma ditzakeen egoerak ere izan daitezke, errealitatearekin loturarik gabe baina haurraren sormenerako garrantzitsuak.

Artikulu hau honela aipatu: Sarasola, Josemari, "Jolas sinbolikoa"; Gizapedian, maiatza 22, 2019, https://gizapedia.hirusta.io/jolas-sinbolikoa/.

Biolentzia sinbolikoa

Biolentzia sinbolikoa dominazio egoeretan gauzatzen den zeharkako biolentzia ez fisikoa da, subliminala eta ikusezina, menderatuen aldetik modu normal eta naturalean onartzen dena, orokorrean legitimatua, eta beraz sumisioa eragiten duena. Pierre Bourdieu soziologoak asmaturiko kontzeptua, eta berak garaturiko habitus edo indibiduoek gizarte bizitzan onartzen dituzten aritzeko moduekin estu loturik. Teoria feminista maiz erabil iduen kontzeptua da, gizartean onartzen diren jarrera matxistak izendatzeko, mikromatxismo ikusezinak, kasu. Lidergoa ere biolentzia sinbolikoaren adibidetzat hartu da. Euskal hiztunok pairatzen dugun biolentzia sinbolikoa ere maiz aipatzen da, erdaraz hitz egin beharra onartu eta normaltzat hartzen dugunean. Hala ere, horiek adibideak besterik ez dira, biolentzia sinbolikoak gizarte osoa eragin eta indibiduo guztiak erasatzen dituen biolentzia baita.

Erreferentziak

Probabilitate konposatua

Probabilitate konposatua bi zorizko gertaera edo gehiago batera gertatzeko probabilitatea da. Adibidez, dadoa bi aldiz botatzen denean, 1 eta 2 suertatzeko probabilitatea probabilitate konposatua dela esaten da. Probabilitate konposatua kalkulatzeko banako gertaeren probabilitateak bidertzen dira, probabilitateen biderketa teoremak adierazten duen bezala. Biderketa horretako probabilitateak zehaztean, aurretik izan den gertaera hartu behar da kontuan (banako gertaerak dependenteak direnean) edota kontuan hartu gabe (independenteak direnean).

Adibidez, 1 eta 2 (ordena horretan) gertatzeko probabilitatea honela kalkulatuko genuke, bi jaurtiketak independenteak direla jakinik: P[1\ eta\ 2]=P[1] \times P[2]=\cfrac{1}{6} \times \cfrac{1}{6}=\cfrac{1}{36}.

Ontzi batean 2 pilota beltz eta 2 pilota zuri edukita, bi pilota zoriz atera eta biak zuriak izateko probabilitatea honela kalkulatuko genuke, dependentzia dagoela kontuan harturik (pilotak aterata ontziko kopuruak aldatu egiten baitira): P[zuria\ eta\ zuria]=P[zuria] \times P[zuria]=\cfrac{2}{4} \times \cfrac{1}{3}=\cfrac{2}{12}.

Orokorrean beraz, honela kalkulatzen da probabilitate konposatua biderketa teoremaren arabera:

    \[P[A \cap B]=P[A]\timesP[B/A]\]

P[B/A] izanik Bren probabilitate baldintzatua, A izan dela jakinik.

Zorizko gertaerak

Zorizko gertaera zorizko saiakuntza bati buruz probabilitatea kalkula dakiokeen edozein emaitza da. Adibidez, dadoa botata, zorizko gertaerak dira 1 suertatzea, zenbakia bikoitia izatea, zein 1 edo 2 suertatzea.

Probabilitatea kalkulatzerakoan, zorizko gertaera mota anitz dago:

  • Zorizko gertaera sinple, elemental edo oinarrizkoak: lagin-espazioaren elementuekin bat datozenak; adibidez, dadoa botata, 1, 2, 3, 4, 5 eta 6. Orokorrean, \omega letrarekin (omega txikia) izendatzen da edozein gertaera sinple.
  • Gertaera ziurra, erabateko ziurtasunez gertatzen dena, eta beraz 1 probabilitatea duena. Lagin-espazio osoarekin dator bat, gerta daitekeen edozein emaitzarekin alegia, eta beraz honela adierazten da:  P[\Omega]=1.
  • Gertaera ezinezkoa, 0 probabilitatea duena: P[\emptyset]=0.
  • Aurkako gertaera edo gertaera osagarria, beste gertaera bat gertatzen ez denean gertatzen dena. A gertaera emanda, aurkako gertaera \overline{A} adierazten da. Adibidez, dadoa botata,

        \[\text{P[A]=P[zenbakia 2 edo txikiagoa]} \rightarrow P[\overline{A}]=\text{P[zenbakia 3 edo handiagoa]}\]

    Aurkako gertaerek erlazio hau betetzen dute:

        \[P[\overline{A}]=1-P[A]\]

    Adibidez, dadoa botata 2 edo txikiagoa izateko probabilitatea 2/6 izanik, 3 edo handiagoa izateko probabilitatea 1-2/6=4/6 da.

  • Gertaera bateragarriak, batera gerta daitezkeenak; adibidez, dadoa botata, "zenbakia bikoitia" eta "zenbakia 3 baino handiagoa" gertaera bateragarriak dira, biak "4" eta "6" izatean gertatzen baitira.
  • Gertaera bateraezinak, batera gerta ezin daitezkeenak, adibidez "4 baino handiagoa" eta "2 baino txikiagoa" gertaera bateraezinak dira.
  • Gertaera konposatuak: zorizko gertaera sinple batzuk batera gertatzean gertatzen dena; adibidez, pertsona batek begi uridnak eta ile beltza izatea (ikus, probabilitate konposatua).

Beste hizkuntzetan: ingelesez, random event; gaztelaniaz, suceso aleatorio.

Lagin-espazioa

Probabilitatearen teorian, lagin-espazioa zorizko saiakuntza batean izan daitezkeen emaitza edo gertaera elementalen multzoa da. \Omega letra grekoarekin izendatzen da. Adibidez, dadoa botata, suertatzen den lagin-espazioa hau da: \Omega=\{1,2,3,4,5,6\}; txanpona botata, berriz, kutx eta pil dira emaitza posibleak: \Omega=\{K,P\}.

Lagin-espazioko gertaera elementalak konbinatuz sigma-aljebra izeneko multzo zabala sortzen da, probabilitatea kalkula daitekeen gertaera guztien multzoa alegia.

Beste hizkuntzetan: gaztelaniaz, espacio muestral; ingelesez, sample space (ingelesez, \Omega letraren ordez, S letra erabiltzen da lagin espazioa izendatzeko).