Autokobariantza

Autokobariantza denbora serie batean aldi desberdinetako balioen artean dagoen erlazioa edo dependentzia neurtzeko erabiltzen diren estatistikoa da. Autokobariantza kalkulatzeko, k lag edo atzerapen delakoa zehaztu behar da aurretik, kontuan hartzen diren s eta t (t \geq s) bi aldi desberdinen artean dagoen t-s tarte edo distantzia alegia.

Denbora seriea erregularra edo joera garbikoa bada, k atzerapena handitu arren, autokobariantza ez da jaitsiko edo astiro egingo du behera . Oso gorabeheratsua edo nahasia denean berriz, erregulartasunik gabea, autokobariantzak k ezberdinetarako oso ezberdinak izango dira, positiboak zein negatiboak, edo oso azkar egingo dute behera k handitu ahala.

Autokobariantza honela adierazten da, s eta t aldiko balioetarako:

    \[\gamma(X_{s},X_t)=cov(X_{s},X_t)=E[(X_{s}-\mu_{s})(X_t-\mu_t)]\]

Seriea estazionarioa denean, autokobariantza k atzerapenaren beste ezeren mendean ez da egongo, eta beraz, honela adieraz daiteke (adibidez, 2 eta 5 denboretako autokobariantza eta 4 eta 7 denboratekoa berdinak izango dira).

    \[\gamma(k)=cov(X_{t+k},X_t)\]

k atzerapen guztietarako autokobariantza-matrizea ere definitzen da:

    \[\Gamma_k= \begin{pmatrix} \gamma(0) & \gamma(1) & \ldots & \gamma(n-1)\\ \gamma(1) & \gamma(2) & \ldots & \gamma(n-2)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ \gamma(n-1) & \gamma(n-2) & \ldots & \gamma(0)\\ \end{pmatrix}\]

Ikusten denez, matrize diagonala da.

Lagin autokobariantza, datu jakinekin, k jakin baterako eta beraz seriea estazionarioa dela kontuan harturik, honela kalkulatzen da:

    \[\hat{\gamma}(X_{t+k},X_t)=\cfrac{1}{n-1}\sum_{t=1}^{n-k}(x_t-\overline{x})(x_{t+k}-\overline{x_t})\]