Banaketa multinomiala

Demagun herritar batek hiru aukera dituela hurrengo bozketa batean: baiezkoa, ezezkoa nahiz abstentzioa. Herri bateko n herritarrek emango duten botoari erreparatzen zaio. Herritarren botoak elkarrekiko independenteak direla pentsatzen da, eta boto aukera bakoitza emateko probabilitatea ezaguna da. Zenbat da n herritar horien artean x_1 baiezko, x_2 ezezko eta x_3 abstentzio izateko probabilitatea? Erantzuna banaketa multinomialak ematen digu.

Zorizko saiakuntza baterako k emaitza ezberdin posible izanik, banaketa multinomialak saiakuntza independenteen n aldietan , emaitza ezberdin posibleetatik hurrenik hurren x_1,x_2,\ldots,x_n izateko probabilitatea ematen du, aldi bakoitzean emaitza ezberdin horiek izateko probabilitatea p_1,p_2,\ldots,p_n izanik:

    \[P[X_1=x_1,X_2=x_2,\ldots,X_n=x_n]=p_1^{x_1}p_2^{x_2}\ldotsp_n^{x_n} \cfrac{n!}{x_1!x_2!\ldotsx_n!} \ \ \ x_1,x_2,\ldots,x_n=1,2,\ldots,n\]

Saiakuntza independenteak izan arren, banaketa multinomialaren banakako aldagaien emaitzek baldintza hau bete behar dute: X_1+X_2+\ldots+X_n=n.

Banaketa multinomiala banaketa binomialaren dimentsio anitzeko hedapena da, zorizko saiakuntzak bi emaitza posible baino gehiago dituenean. Hain zuzen, banaketa multinomialaren banaketa marjinalak binomialak dira.

Ikus, gainera