Kardinaltasuna

Logikan eta matematikan, kardinaltasuna edo kardinalitatea multzo bateko tamaina adierazten duen nolakotasuna da. Multzo finituetan, tamaina elementu kopurua besterik ez den bitartean, multzo infinituetan kontzeptua bestelakoa da, infinitu tamaina ezberdinak daudelako. A multzo bati buruz, haren kardinaltasuna |A| idazten da.

Adibidez, A:\{2,4,6\} multzoaren kardinaltasuna |A|=3 dugu, elementu kopurua alegia. Ordea, multzo infinitua denean, kardinaltasuna, multzoaren tamaina alegia, beste era batera aztertu behar da. Infinitu tamaina ezberdinen artean kardinaltasun infinitu zenbakarria eta zenbakaitza bereizten dira:

  • multzo bat infinitu zenbakarria da, zenbaki naturaletatik multzo horretako elementuetarako bijekzioa ezar daitekeenean. Adibidez, zatiki eta zenbaki arrazionalen multzoa infinitu zenbakarria da, eta beraz zenbaki naturalen tamaina berekoa da, paradoxikoa bada ere, bi zenbaki naturalen artean infinitu zenbaki arrazional daudelako; izan ere, zenbaki arrazionalak zerrenda moduan ezar ditzakegu, banan-banan, eta horiei zenbaki natural bana esleitu, modu ordenatuan. Esleipen edo bijekzio hori egin daitekeenez, zenbaki arrazionalen kardinaltasuna eta zenbaki naturalena berdinak dira, bi multzoak infinitu zenbakarriak dira.
  • tarteak multzo infinitu zenbakaitzak dira, multzo infinitu zenbakarriak baino infinituagoak nolabait esateko, kardinaltasun edo tamaina handiagokoak. Baina tarteak zabalera ezberdinetakoak izan arren, kardinaltasun berekoak izan daitezke; adibidez (0,1) eta (0,2) tarteak kardinaltasun berekoak dira, bigarren multzoko elementu oro g(x)=2x bijekzioaren ordez adieraz daitekeelako: 0.7 \to 1.4, (0,0.9) \to (0,1.8).
  • potentzia-multzoa multzo bateko azpimultzo guztien multzoa da. Potentzia-multzoak dagozkien oinarrizko multzoak baino kardinaltasun handiagokoak dira; adibidez garbi dago A:\{0,1\} dagokion P(A):\{0,1, (0,1), (\emptyset)\}  potentzia-multzoa baino kardinaltasun txikiagoa duela. Eta berdina esan daiteke ere multzo infinituetan.